Trong không gian tôpô

Trong không gian tôpô, khái niệm tập mở là một khái niệm cơ sở.Không gian tôpô là một tập hợp X {\displaystyle X} cùng với một họ T {\displaystyle T} , X ⊇ {\displaystyle \supseteq } A thỏa mãn một số tiên đề của"tính mở". Họ T {\displaystyle T} đó được gọi là một tôpô còn mỗi phần tử thuộc T {\displaystyle T} được gọi là tập mở. Lưu ‎ý: ⋂ i = 1 m T i {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{m}T_{i}} là tập mở với m <∞.

Trong không gian Metric

Trong không gian mêtric (M,d) (với d {\displaystyle d} là hàm khoảng cách), tập con U là tập mở nếu, với mỗi x ∈ {\displaystyle \in } U, tồn tại số thực ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} sao cho với mọi y ∈ {\displaystyle \in } M thỏa mãn d(x,y) < ϵ {\displaystyle \epsilon } , y cũng thuộc U. (Hay, tương đương, U là mở nếu với mọi điểm u ∈ {\displaystyle \in } U có một lân cận V của u nằm trọn trong U).Trong không gian metric (M,d), người ta định nghĩa điểm x ∈ {\displaystyle \in } U được gọi là điểm trong của U nếu tồn tại một lân cận của x nằm trọn trong U.

Như vậy, một tập U là mở trong M khi và chỉ khi mọi điểm của U đều là điểm trong.

Trong không gian Euclide

Không gian Euclide R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} cũng là một không gian metric, nên khái niệm tập mở trong đó cũng là khái niệm mở trong không gian metric.